Cho a,b,c > 0 thỏa mãn điều kiện a + b + c < hoặc = 3/2
Tìm GTNN của biểu thức A = a + b + c + 1/a + 1/b + 1/c
1. Cho a,b,c>0 thỏa mãn điều kiện: a+b+c=1. Tìm GTNN của biểu thức:
P=(a+1/a)^2 +(b+1/b)^2+(c+1/c)^2.
Mọi người giải giúp em với ạ. Em cảm ơn rất nhiều
Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện: a+b+c=1.
Tìm GTNN của biểu thức:
M=14(\(a^2\)+\(b^2\)+\(c^2\))+\(\dfrac{ab+ac+bc}{a^2b+b^2c+c^2a}\)
Theo đề ra, ta có:
\(a^2+b^2+c^2\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(=a^3+b^3+c^3+a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2\)
Theo BĐT Cô-si:
\(\left\{{}\begin{matrix}a^3+ab^2\ge2a^2b\\b^3+bc^2\ge2b^2c\\c^3+ca^2\ge2c^2a\end{matrix}\right.\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)
Do vậy \(M\ge14\left(a^2+b^2+c^2\right)+\dfrac{3\left(ab+bc+ac\right)}{a^2+b^2+c^2}\)
Ta đặt \(a^2+b^2+c^2=k\)
Luôn có \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=1\)
Vì thế nên \(k\ge\dfrac{1}{3}\)
Khi đấy:
\(M\ge14k+\dfrac{3\left(1-k\right)}{2k}=\dfrac{k}{2}+\dfrac{27k}{2}+\dfrac{3}{2k}-\dfrac{3}{2}\ge\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}+2\sqrt{\dfrac{27k}{2}.\dfrac{3}{2k}}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{23}{3}\)
\(\Rightarrow Min_M=\dfrac{23}{3}\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\).
Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện \(\frac{1}{a+2}+\frac{3}{b+4}\le\frac{c+1}{c+3}\)
Tìm GTNN của biểu thức Q = (a + 1)(b + 1)(c + 1).
a, Chứng minh bất đẳng thức a2+b2+2 ≥ 2(a+b)
b,Cho hai số thực x,y thỏa mãn điều kiện: x^2+y^2 = 1. Tìm GTLN và GTNN của x+y
c, Cho a,b > 0 và a+b = 1. Tìm GTNN của S=\(\dfrac{1}{ab}\)+1/a2+b2
a)Có \(a^2+1\ge2a\) với mọi a; \(b^2+1\ge2b\) với mọi b
Cộng vế với vế \(\Rightarrow a^2+b^2+2\ge2\left(a+b\right)\)
Dấu = xảy ra <=> a=b=1
b) Áp dụng BĐT bunhiacopxki có:
\(\left(x+y\right)^2\le\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\le2\)
\(\Leftrightarrow-\sqrt{2}\le x+y\le\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)_{max}=\sqrt{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=\sqrt{2}\\x=y\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\left(x+y\right)_{min}=-\sqrt{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=-\sqrt{2}\\x=y\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
c) \(S=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}=\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{2ab}\)
Với x,y>0, ta có: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) (1)
Thật vậy (1) \(\Leftrightarrow\dfrac{y+x}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (lđ)
Áp dụng (1) vào S ta được:
\(S\ge\dfrac{4}{a^2+b^2+2ab}+\dfrac{1}{2ab}\)
Lại có: \(ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\) \(\Leftrightarrow2ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\Leftrightarrow2ab\le\dfrac{1}{2}\)\(\Rightarrow\dfrac{1}{2ab}\ge2\)
\(\Rightarrow S\ge\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}+2=6\)
\(\Rightarrow S_{min}=6\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)
a) cho a,b,c > 0 thỏa mãn điều kiện : ab+bc+ca=1 chứng minh rằng :
\(a^3+b^3+c^3\ge\frac{1}{\sqrt{3}}\)
b) cho a,b,c>0 thỏa mãn điều kiện : a+b+c=3abc tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
\(\frac{1}{a^5}+\frac{1}{b^5}+\frac{1}{c^5}\)
giúp mik với .
Cho a,b,c là 3 số thực thuộc 0<a,b,c<1 và thỏa mãn điều kiện \(\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca}=4\)
Tìm GTNN biểu thức
P=\(\frac{a^2}{1-a^2}+\frac{b^2}{1-b^2}+\frac{c^2}{1-c^2}\)
Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện: a+2b+3c=2014. Tìm GTNN của biểu thức (a+b+c)(1/a+1/b+1/c)
* Sẽ bấm chọn ạ T.T :v Hộ trong 5 giờ nữa. Có thể thì gửi trực tiếp cho fb.com/anhnhannguyen.147 <3
I'm gone!
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM lần lượt cho ba số dương \(a,b,c\) và ba phân thức \(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\) không âm, ta có:
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\) \(\left(1\right)\)
và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\) \(\left(2\right)\)
Nhân từng vế \(\left(1\right)\) với \(\left(2\right)\), ta được: \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}=9\)
Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\) là \(9\).
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(a=b=c=\frac{1007}{3}\) (bạn cần trình bày rõ kết quả này để ghi điểm tối đa: kết hợp với gt)
I'm gone!
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM từng lượt cho ba số dương \(a,b,c\) và ba phân thức \(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\) không âm, ta có:
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\) \(\left(1\right)\)
và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\) \(\left(2\right)\)
Nhân từng vế \(\left(1\right)\) với \(\left(2\right)\), ta được: \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}=9\)
Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\) là \(9\).
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(a=b=c=\frac{1007}{3}\) (bạn cần trình bày rõ kết quả này để ghi điểm tối đa: kết hợp với gt)
Cho a,b,c dương thỏa mãn điều kiện a+b+c=2. Tìm GTNN của biểu thức:
\(Q=\sqrt{2a+bc}+\sqrt{2b+ca}+\sqrt{2c+ab}\)
Biểu thức này chỉ có max, ko có min
Cho phép mình giải max bài này ạ:
Ta có:
\(\sqrt{2a+bc}=\sqrt{\left(a+b+c\right)a+bc}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\overset{cosi}{\le}\dfrac{a+b+a+c}{2}\)
Tương tự: \(\sqrt{2b+ac}\le\dfrac{b+c+b+a}{2};\sqrt{2c+ab}\le\dfrac{c+a+c+b}{2}\)
\(\Rightarrow Q\le\dfrac{4\left(a+b+c\right)}{2}=2\left(a+b+c\right)=4\)
Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{2}{3}\)
Cho các số thực a , b , c thỏa mãn điều kiện : \(0\le a,b,c\le2\) và a+b+c = 3
Tìm GTNN và GTLN của biểu thức P = \(\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\)
đặt \(t=ab+bc+ca\)
\(=>t=ab+bc+ca\le\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=3\)
mặt khác
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(=>a^2+b^2+c^2=9-2\left(ab+bc+ca\right)\)
khi đó
\(P=\frac{9-2t}{t}\)(zới t nhỏ hơn hoặc = 3)
xét \(f\left(t\right)=\frac{9-2t}{t}\left(t\le3\right)\)
\(f'\left(t\right)=-\frac{9}{t^2}< 0\)
=> f(t) N Biến \(\left(-\infty,3\right)\)
min f(t)=f(3)=1
koo tồn tại max\(f\left(t\right)\)
zậy minP=1 khi a=b=c=1